যদি$\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$  এবং  $\vec{B} = m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}$ তবে m- এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হবে?

দুটি ভেক্টর পরস্পরের উপর লম্ব হওয়ার গাণিতিক শর্ত হলো, তাদের ডট গুণন (Dot Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ হবে।

ধাপে ধাপে সমাধান:
• দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}$
• শর্তমতে, $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
• $\Rightarrow (2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (m\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}) = 0$

আমরা জানি, ডট গুণনের ক্ষেত্রে সমজাতীয় একক ভেক্টরগুলোর গুণফল ১ হয় (যেমন: $\hat{i}\cdot\hat{i} = \hat{j}\cdot\hat{j} = \hat{k}\cdot\hat{k} = 1$) এবং ভিন্ন একক ভেক্টরের গুণফল শূন্য হয়।

• অতএব, সহগগুলো গুণ করে যোগ করলে পাই:
$\Rightarrow (2 \times m) + (3 \times 2) + (-5 \times 10) = 0$
• $\Rightarrow 2m + 6 - 50 = 0$
• $\Rightarrow 2m - 44 = 0$
• $\Rightarrow 2m = 44$
• $\Rightarrow m = \frac{44}{2}$
• $\Rightarrow m = 22$

সুতরাং, m-এর মান 22 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হবে।